Elevans numerum complexum naturali potentiae

In hac publicatione, videbimus quomodo numerus multiplex ad aliquam potentiam elevari potest (inclusa formula De Moivre). Materia theorica comitatur exemplis ad melius intellegendum.

Suscitans numerum complexum ad potentiam

Primo memento, quod numerus multiplex habet formam generalem; z = a + bi (forma algebraica).

Nunc directe ad solutionem problematis procedere possumus.

Quadratus numerus

Gradum repraesentare possumus ut productum eorundem factorum, ac deinde productum eorum invenire (memorans i² = -1).

z² = (a + bi)² = (a + bi) (a + bi)

Exemplum 1:

z=3+5i

z² = (3 + 5i)² = (3 + 5i)(3 + 5i) = 9 + 15i + 15i + 25i² = -16 + 30i

Uti etiam potes, nempe quadratum summae;

z² = (a + bi)² = a² + 2 a bi + (bi)² = a² + 2abi - b²

Nota: Eodem modo, si opus est, formulae quadrati differentiae, cubus summae / differentiae etc. obtineri potest.

Nth gradus

Numero complexus suscitate z in genere n multo facilius si in forma trigonometrica repræsentatur.

Memini in genere notatio plurium similis; z = |z| (cos φ + i, peccatum φ).

Pro exponendo uti potes De Moivre formula (Abraham de Moivre mathematico Anglico sic nominatam);

zⁿ = | z |ⁿ (cos(nφ) + i, peccatum(nφ))

Formula scripturae in forma trigonometrica obtinetur (multiplicantur moduli, et argumenta adduntur).

Exemplum 2

Numero complexus suscitate z = 2 (cos 35° + i ⋅ sin 35°) ad octavum gradum.

Solutio

z⁸ = 2⁸ (cos(8 35°) + i peccatum(8 35°)) = 256 — (cos 280°+i peccatum 280°)..